Géométrie vectorielle du plan et de l'espace : maths 5e secondaire

Un vecteur a une direction, un sens et une norme. On l'écrit avec une flèche.

Compétences visées

• Calcul vectoriel du plan et de l’espace
• Produit scalaire et orthogonalité

Vecteurs du plan

Un vecteur a une direction, un sens et une norme. On l'écrit avec une flèche.

À connaître

• $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A)$
• $\|\vec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| \cos \theta$

Méthodes

• Coordonnées. Différence des coordonnées des extrémités.
• Produit scalaire. Angle, orthogonalité, norme.
• Colinéarité. Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe k tel que u = k v ; utiles pour droites et milieux.
• Al-Kashi et norme. FESeC : relier produit scalaire, cosinus et longueur d'un côté (Al-Kashi).

Exercices types

• Coordonnées de \overrightarrow{AB} et norme
• Orthogonalité : produit scalaire nul

Vecteurs de l'espace

En scientifiques, les vecteurs du plan et de l'espace forment une seule UAA de 5e.

À connaître

• dans l'espace : $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$
• $\|\vec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}$
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| \cos \theta$
• $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$

Méthodes

• Vecteurs de l’espace. Composantes dans un repère de l’espace ; combinaison linéaire des vecteurs de base.
• Produit scalaire et norme. Orthogonalité, angle, distance via produit scalaire ; norme ‖u‖.
• Vecteurs coplanaires. FESeC : reconnaître et utiliser la coplanarité / combinaison linéaire.

Exercices types

• Norme d'un vecteur de l'espace
• Vecteurs coplanaires ou colinéaires
• Vérifier l’orthogonalité de deux vecteurs de l’espace

Autres chapitres de 5e

• Statistiques à deux variables
• Suites
• Modèles de croissance
• Asymptotes et limites
• Dérivée
• Fonctions trigonométriques
• Géométrie analytique et synthétique de l'espace