Suites : maths 5e secondaire

On ajoute une raison constante. Le terme général et la somme se lisent sur u₀ ou u₁, au choix du prof.

Au jury de la Fédération Wallonie-Bruxelles, ce chapitre est la 5G UAA2 de l'examen de mathématiques du CESS.

Compétences visées

• Mobiliser les propriétés des suites dans des situations variées

La définition par récurrence et la limite d'une suite arithmétique ou géométrique sont des ressources de cette UAA, pas un chapitre de 6e.

Suites arithmétiques

On ajoute une raison constante. Le terme général et la somme se lisent sur u₀ ou u₁, au choix du prof.

À connaître

• $u_n = u_0 + nr$
• $u_n = u_1 + (n - 1)r$
• $S_n = \frac{(n + 1)(u_0 + u_n)}{2}$ si l'on somme de $0$ à $n$

Méthodes

• Raison et terme général. u_{n+1} − u_n = r. On précise si le premier indice est 0 ou 1.
• Somme. Processus de calcul de la somme des n premiers termes (FESeC : plus important que la formule seule).
• Intérêts simples. FESeC base/générales : intérêts simples comme contexte de suite arithmétique.

Exercices types

• Terme général d'une suite arithmétique dont u_3 = 7 et r = −2
• Somme des 20 premiers termes

Suites géométriques

On multiplie par une raison q. La somme change de formule selon que q vaut 1 ou non.

À connaître

• $u_n = u_0 \cdot q^n$
• si $q \neq 1$ : $S = u_0 \, \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
• sens de variation selon $q$ et le signe de $u_0$

Méthodes

• Raison et terme général. Taux de croissance constant (croissance géométrique / « exponentielle » courante).
• Somme. Somme des n premiers termes ; processus avant formule.
• Définition par récurrence. Outil de l'UAA Suites : u_{n+1} s'écrit à partir de u_n. Il n'y a pas de chapitre « démonstration » en 6e.
• Propriété par récurrence. Initialisation, hérédité, conclusion — prouver une propriété sur une suite (ressource 6h/8h, pas un chapitre séparé).
• Intérêts composés et amortissement. FESeC : capitalisation et tableau d’amortissement (outil informatique).

Exercices types

• Capitalisation : u_0 = 1 000, q = 1,02, calculer u_10
• Somme d'une géométrique de raison 1/2

Limite d'une suite

Dans l'UAA Suites, on détermine la limite d'une suite arithmétique ou géométrique. Ce n'est pas un chapitre séparé.

À connaître

• si $|q| < 1$, $q^n \to 0$
• si $q > 1$, $q^n \to +\infty$
• $\lim (u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n$ quand les limites existent

Méthodes

• Limite d’une géométrique. Convergence observée graphiquement / numériquement (FESeC : pas de définition formelle en base).
• Suite rationnelle en n. Comportement en +∞ pour des suites du type P(n)/Q(n).
• Convergence observée. FESeC : la convergence est uniquement observée à partir d’exemples graphiques ou numériques en base.

Exercices types

• Limite de (1/2)^n
• Limite de (3n + 1) / (n + 4)

Autres chapitres de 5e

• Statistiques à deux variables
• Modèles de croissance
• Asymptotes et limites
• Dérivée
• Fonctions trigonométriques
• Géométrie vectorielle du plan et de l'espace
• Géométrie analytique et synthétique de l'espace