Fonctions trigonométriques : maths 5e secondaire

Sur le cercle de rayon 1, l'abscisse est cos, l'ordonnée est sin, et tg se lit sur la tangente.

Au jury de la Fédération Wallonie-Bruxelles, ce chapitre est la 5G UAA5 de l'examen de mathématiques du CESS.

Compétences visées

• Relier nombres trigonométriques d’un angle à ceux d’un réel
• Modéliser avec des fonctions trigonométriques

Générales et scientifiques. Les degrés restent ceux de la 4e, hors de ce paquet. Ici, radians.

Cercle trigonométrique

Sur le cercle de rayon 1, l'abscisse est cos, l'ordonnée est sin, et tg se lit sur la tangente.

À connaître

• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, $\cos x \neq 0$
• $\cotg x = \frac{\cos x}{\sin x}$, $\sin x \neq 0$

Méthodes

• Placer un angle. Sens trigonométrique, angles associés, quadrants.
• Lire sin, cos, tg, cotg. Ordonnée, abscisse, et les deux quotients. CE pour tg et cotg.

Exercices types

• Placer 2π/3, −π/4 et 7π/6 sur le cercle
• Lire sin, cos et tg d'un angle dessiné

Radians

À partir du cercle trigonométrique, l'unité est le radian. π rad = 180°.

À connaître

• $\pi \text{ rad} = 180^\circ$
• longueur d'arc $= r \cdot |\theta|$ avec $\theta$ en radians
• longueur d’arc $= r \cdot \theta$ ($\theta$ en radians)
• aire de secteur $= \frac{1}{2} r^2 \theta$

Méthodes

• Passer des degrés aux radians. On ne garde les degrés que pour un énoncé de 4e. Ici, on convertit puis on travaille en radians.
• Arcs et secteurs. Correspondance angle ↔ arc ; longueurs d’arcs et aires de secteurs.
• Angles orientés. Le radian mesure des angles orientés sur le cercle trigonométrique.

Exercices types

• Convertir 150° en radians
• Longueur de l'arc de 2π/3 sur le cercle unité
• Convertir 150° en radians et calculer un arc de rayon 2

Formules

Addition, duplication et les liens entre sin, cos, tg. Elles servent à simplifier avant de résoudre.

À connaître

• $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
• $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
• $\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 - \tg a \tg b}$
• $\sin(2a) = 2 \sin a \cos a$
• $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$

Méthodes

• Formules d'addition. sin, cos et tg d'une somme.
• Duplication. Angle double, utile pour linéariser.

Exercices types

• Simplifier sin(π/2 − x)
• Linéariser cos² x

Équations et inéquations trigonométriques

On se ramène à sin, cos ou tg d'un angle, puis on écrit la famille de solutions. Les inéquations utiles à l'analyse restent simples.

À connaître

• $\sin x = k \iff x = (-1)^n \arcsin k + n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$
• $\cos x = k \iff x = \pm \arccos k + 2n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$
• $\tg x = k \iff x = \arctg k + n\pi$, $n \in \mathbb{Z}$
• familles visées : $\sin(ax + b) < k$, $\cos(ax + b) < k$, $\tg(ax + b) < k$

Méthodes

• Famille de solutions. On n'oublie pas le + nπ ou + 2nπ, et la CE de tg.
• Inéquation simple. On lit l'arc sur le cercle, puis on l'écrit en intervalle modulo la période.

Exercices types

• Résoudre 2 sin x − 1 = 0 sur [0, 2π]
• Résoudre tg(x − π/6) ≥ 1

Fonctions trigonométriques

x ↦ a sin(bx + c) : amplitude, période, déphasage. Le graphique se lit avant le calcul.

À connaître

• amplitude $|a|$, période $\frac{2\pi}{|b|}$, déphasage $-\frac{c}{b}$
• dom $\tg = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + n\pi \mid n \in \mathbb{Z}\right\}$

Méthodes

• Amplitude, période, déphasage. Lire a, b et c sur x ↦ a sin(bx + c) et sur le graphique.
• Graphique. Une période suffit pour sin et cos. tg a une asymptote par période.
• Mouvement harmonique. FESeC : a ↔ élongation max, b ↔ pulsation, T = 2π/b, fréquence = 1/T.

Exercices types

• Période et amplitude de f(x) = 3 sin(2x − π/4)
• Tracer une période de x ↦ tg x

Autres chapitres de 5e

• Statistiques à deux variables
• Suites
• Modèles de croissance
• Asymptotes et limites
• Dérivée
• Géométrie vectorielle du plan et de l'espace
• Géométrie analytique et synthétique de l'espace