Dérivée : maths 5e secondaire

La dérivée en a est la limite du taux d'accroissement. C'est la pente de la tangente.

Au jury de la Fédération Wallonie-Bruxelles, ce chapitre est la 5G UAA4 de l'examen de mathématiques du CESS.

Compétences visées

• Lier tangente, taux d’accroissement, croissance et concavité à la dérivée
• Résoudre des problèmes d'optimisation

Générales et scientifiques. Le 2 h n'a que le taux d'accroissement des modèles de croissance.

Définition

La dérivée en a est la limite du taux d'accroissement. C'est la pente de la tangente.

À connaître

• $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$
• nombre dérivé = pente de la tangente en $a$

Méthodes

• Taux d'accroissement. Le quotient (f(a+h) − f(a)) / h, puis la limite.
• Nombre dérivé. f'(a) existe si cette limite existe.

Exercices types

• Calculer f'(2) par la définition pour f(x) = x²
• Interpréter un taux d'accroissement sur un graphique

Règles de dérivation

Somme, produit, quotient, composée, et les dérivées des fonctions de référence. En générales, les calculs restent sur des fonctions rationnelles.

À connaître

• $(u + v)' = u' + v'$
• $(ku)' = k\,u'$
• $(uv)' = u'v + uv'$
• $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• $(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'$
• $(x^n)' = n\,x^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Méthodes

• Somme, produit, quotient. On dérive un assemblage, pas seulement un monôme.
• Composée. Dérivée de l'extérieur, fois dérivée de l'intérieur.
• Fonctions de référence. FESeC générales : k, x, x², x³, √x, puis xⁿ par analogie ; trig possibles ici ou en UAA trig.

Exercices types

• Dériver (x² + 1) / (x − 3)
• Dériver √(2x + 1)

Tangente

La tangente en a a pour pente f'(a) et passe par le point de la courbe.

À connaître

• $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
• vitesse instantanée = limite du taux d’accroissement

Méthodes

• Équation de la tangente. Pente f′(a), point (a, f(a)). Forme y = f′(a)(x − a) + f(a).
• Interprétation géométrique et cinématique. FESeC : pente de la tangente ; vitesse instantanée comme taux d’accroissement instantané.
• Tangente horizontale. f′(a) = 0 donne une tangente horizontale ; ce n’est pas forcément un extremum.

Exercices types

• Équation de la tangente à y = x³ − x en x = 1
• Tangente horizontale : f'(a) = 0
• Relier f′(a) à une vitesse sur un graphique position–temps

Croissance et extrema

Le signe de f' donne la croissance. Un extremum local est un changement de signe de f', lu dans le tableau de variation.

À connaître

• $f' \ge 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ croissante
• $f' \le 0 \Rightarrow$ $f$ décroissante
• extremum local si $f'$ change de signe
• $f'' > 0 \Rightarrow$ concave vers le haut (convexe)
• point d’inflexion si la concavité change

Méthodes

• Signe de la dérivée. Tableau de signes de f′, traduit en flèches de croissance.
• Extrema. f′(a) = 0 ne suffit pas : il faut le changement de signe (FESeC insiste sur cette distinction).
• Concavité et dérivée seconde. Le signe de f″ lie croissance de f′ et concavité du graphique.
• Point d’inflexion. Changement de concavité ; souvent où f″ change de signe.
• Optimisation. FESeC : résoudre des problèmes d’optimisation (physique, économie, …) avec la dérivée.

Exercices types

• Tableau de variation de f(x) = x³ − 3x
• Maximum d'une fonction du second degré par la dérivée
• Optimiser une aire ou un coût sous contrainte simple

Étude complète de fonctions

L'exercice type de l'examen : domaine, CE, limites, asymptotes, dérivée, tableau de variation, graphique.

À connaître

• ordre : dom $f$, CE, limites, asymptotes, $f'$, tableau de variation, graphique

Méthodes

• Plan de l'étude. Toujours le même ordre : domaine, CE, limites, asymptotes, dérivée, tableau, puis le graphique après la réponse.
• Tableau de variation complet. Limites aux bords, flèches, valeurs des extrema.

Exercices types

• Étude complète de f(x) = (x²) / (x − 1)
• Étude complète d'un polynôme du troisième degré

Autres chapitres de 5e

• Statistiques à deux variables
• Suites
• Modèles de croissance
• Asymptotes et limites
• Fonctions trigonométriques
• Géométrie vectorielle du plan et de l'espace
• Géométrie analytique et synthétique de l'espace