Asymptotes et limites : maths 5e secondaire

La limite se dit d'abord en français, à partir du graphique et des suites. L'objectif est l'asymptote, pas une définition en ε.

Au jury de la Fédération Wallonie-Bruxelles, ce chapitre est la 5G UAA3 de l'examen de mathématiques du CESS.

Compétences visées

• Articuler expression analytique, graphique et comportement asymptotique

Le 4 h s'arrête aux asymptotes et aux limites. La continuité est réservée au 6 h, que le 8 h reprend.

Limites et asymptotes

La limite se dit d'abord en français, à partir du graphique et des suites. L'objectif est l'asymptote, pas une définition en ε.

À connaître

• asymptote verticale : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$
• asymptote horizontale : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$, droite $y = b$
• asymptote oblique : $\lim_{x \to \pm\infty} \big(f(x) - (mx + p)\big) = 0$

Méthodes

• Asymptote verticale. Zéro du dénominateur qui n'annule pas le numérateur, limite infinie.
• Asymptote horizontale. Limite finie à l'infini.
• Asymptote oblique. Division euclidienne ou coefficients indéterminés (FESeC rationnelles).
• Indéterminations courantes. FESeC : on synthétise les cas réellement rencontrés, sans catalogue formel.
• Asymptotes d’une fraction rationnelle. Verticale au zéro du dénominateur, horizontale ou oblique après division. Ce n'est pas un chapitre à part.
• Opérations et composition. FESeC : opérations sur les fonctions (y compris composition) au service des limites.

Exercices types

• Asymptotes de f(x) = (x² + 1) / (x − 2)
• Lever une indétermination (∞ − ∞) ou (0/0) sur une fraction rationnelle

Continuité

f est continue en a si la limite vaut f(a). En 4 h, le programme s'arrête aux asymptotes et limites.

À connaître

• continue en $a$ $\iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
• prolongement par continuité si la limite existe et que $a$ n'est pas dans le domaine

Méthodes

• Continuité en un point. Limite égale à la valeur. On regarde les deux côtés.
• Prolongement par continuité. On définit f(a) par la limite quand elle existe.

Exercices types

• La fonction (x² − 1) / (x − 1) est-elle prolongeable en 1 ?
• Continuité d'une fonction définie par cas

Autres chapitres de 5e

• Statistiques à deux variables
• Suites
• Modèles de croissance
• Dérivée
• Fonctions trigonométriques
• Géométrie vectorielle du plan et de l'espace
• Géométrie analytique et synthétique de l'espace