Fonctions réciproques et cyclométriques : maths 6e secondaire

arcsin, arccos, arctg : domaines, graphes, dérivées. On choisit la branche où la fonction de départ est bijective.

Compétences visées

• Établir des liens de réciprocité entre fonctions
• S’approprier les fonctions cyclométriques

Le 8 h suit cette UAA. Il n'y en a pas une de plus pour le 8 h.

Fonctions réciproques et cyclométriques

arcsin, arccos, arctg : domaines, graphes, dérivées. On choisit la branche où la fonction de départ est bijective.

À connaître

• $\arcsin : [-1 ; 1] \to \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$
• $\arccos : [-1 ; 1] \to [0 ; \pi]$
• $\arctg$ est définie sur $\mathbb{R}$, avec $\arctg x \in ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$
• $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
• $(\arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2}$
• $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

Méthodes

• Domaine et valeurs. Restreindre le domaine des trig pour obtenir une bijection, puis la réciproque.
• Dérivées. arcsin, arccos, arctg, y compris en composée.
• Injection, surjection, bijection. FESeC : notions introduites pour justifier les réciproques.
• Identité arcsin + arccos. arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (illustration graphique FESeC).

Exercices types

• Calculer arcsin(1/2) et arctg 1
• Dériver arcsin(2x)
• Associer le graphique d’arcsin à celui de sin restreint

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