Fonctions exponentielles et logarithmes : maths 6e secondaire

exp et ln sont réciproques. ln n'est défini que sur ]0, +∞[. On écrit ln, pas log tout court.

Au jury de la Fédération Wallonie-Bruxelles, ce chapitre est la 6G UAA4 de l'examen de mathématiques du CESS.

Compétences visées

• Modéliser par exponentielle ou logarithme
• Maitriser différents modèles de croissance

Fonctions exponentielles et logarithmes

exp et ln sont réciproques. ln n'est défini que sur ]0, +∞[. On écrit ln, pas log tout court.

À connaître

• dom $\ln = ]0 ; +\infty[$
• $\ln(e^x) = x$, $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$
• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$, $\ln(a^r) = r \ln a$
• $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Méthodes

• Domaine et réciprocité. CE du logarithme, graphes symétriques par rapport à y = x.
• Propriétés de ln. Produit, quotient, puissance. On les justifie avant de les appliquer.
• Limites et dérivées. FESeC : formules de dérivation démontrées ; utiles pour l’allure locale.

Exercices types

• Domaine de ln(x − 2)
• Dériver ln(x² + 1)

Équations et inéquations

On ramène à une même base, ou on passe au ln. Chaque étape se justifie, y compris la CE.

À connaître

• $e^A = e^B \iff A = B$
• $\ln A = \ln B \iff A = B$ et $A > 0$, $B > 0$
• $a^x = b \iff x = \frac{\ln b}{\ln a}$, $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$

Méthodes

• Équation exponentielle. Même base, ou substitution X = e^x.
• Équation et inéquation logarithmiques. CE d'abord, puis ln croissant pour les inégalités.

Exercices types

• Résoudre e^{2x} − 3 e^x + 2 = 0
• Résoudre ln(x + 1) < 2

Croissance

On compare la croissance de l'exponentielle, du logarithme et des puissances. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance, le logarithme est plus lent.

À connaître

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ pour $n > 0$
• $a > 1$ : $x \mapsto a^x$ croissante ; $0 < a < 1$ : décroissante
• $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
• $e^{-x^2}$ (cloche)

Méthodes

• Comparer les croissances. Exponentielle vs logarithme vs puissance ; taux de croissance constant sur intervalles égaux.
• Fonction e^{−x²}. FESeC : étude de x ↦ e^{−x²}, utile pour la loi normale.
• Nombre e. Plusieurs approches : (eˣ)′ = eˣ, lim (1+1/n)ⁿ, ou via une intégrale.

Exercices types

• Comparer les graphes de e^x, x² et ln x pour les grandes valeurs
• Limite de ln x / x en +∞
• Comparer la croissance de 2ˣ et de x³ pour de grandes valeurs

Autres chapitres de 6e

• Probabilité
• Lois de probabilités
• Géométrie
• Intégrale
• Géométrie analytique de l'espace
• Fonctions réciproques et cyclométriques
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• Nombres complexes