Lois de probabilités : maths 6e secondaire

Une variable aléatoire prend des valeurs numériques. On calcule l'espérance et l'écart-type.

Au jury de la Fédération Wallonie-Bruxelles, ce chapitre est la 6G UAA2 de l'examen de mathématiques du CESS.

Compétences visées

• Déterminer une probabilité via lois binomiale et normale

Loi uniforme, binomiale et normale, y compris en 2 h.

Variables aléatoires

Une variable aléatoire prend des valeurs numériques. On calcule l'espérance et l'écart-type.

À connaître

• $E(X) = \sum x_i \, p_i$
• $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$
• $\sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}$

Méthodes

• Loi de probabilité. Tableau valeurs / probabilités, somme 1.
• Espérance et écart-type. Moyenne pondérée, puis dispersion.

Exercices types

• Loi d'un dé pipé : espérance et écart-type
• E(aX + b) = a E(X) + b

Loi binomiale

n épreuves de Bernoulli indépendantes, probabilité p de succès. On compte le nombre de succès.

À connaître

• $P(X = k) = C_n^k \, p^k (1 - p)^{n - k}$
• $E(X) = np$
• $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$

Méthodes

• Schéma de Bernoulli. Deux issues, indépendance, p constant, n fixé.
• Calcul. Coefficient binomial, puis espérance et écart-type sans refaire la somme.

Exercices types

• Cinq lancers, probabilité d'obtenir exactement 3 piles, p = 0,5
• Reconnaître un schéma de Bernoulli

Loi normale

Courbe de Gauss, paramètres espérance et écart-type. On lit une probabilité comme une aire, souvent dans une table ou sur la calculatrice. La binomiale s'approche d'une normale dans des conditions précises.

À connaître

• $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$
• $P(a \le X \le b)$ = aire sous la courbe
• les formules de $\mu$ et $\sigma$ ne sont pas à démontrer

Méthodes

• Lire une aire. La probabilité est l'aire, pas l'ordonnée de la courbe.
• Rôle de μ et σ. μ centre, σ étale. Plusieurs courbes sur le même repère.

Exercices types

• Lire P(X ≤ 1,5) sur une loi normale centrée réduite
• Dire quand une binomiale peut s'approcher par une normale

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