Nombres complexes : maths 6e secondaire

Forme algébrique et forme trigonométrique. Somme = translation, produit par un complexe de module 1 = rotation.

Compétences visées

• Utiliser ℂ pour démontrer ou obtenir des résultats

UAA scientifiques, 6 périodes (6SUAA7). Le 8 h la suit. Pas d'UAA supplémentaire pour le 8 h, et pas en 4 h.

Nombres complexes

Forme algébrique et forme trigonométrique. Somme = translation, produit par un complexe de module 1 = rotation.

À connaître

• $z = a + bi$, $i^2 = -1$
• module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• $z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)$
• conjugué $\bar{z} = a - bi$, produit $z \cdot \bar{z} = |z|^2$

Méthodes

• Deux formes. Algébrique et trigonométrique, et le passage.
• Opérations et géométrie. Somme ↔ translation ; produit par module 1 ↔ rotation ; plan de Gauss.
• Équations dans ℂ. Second degré, et z^n = a. Racines dans le plan de Gauss.
• Module, argument, conjugué. FESeC : illustrer graphiquement Re, Im, module, argument, conjugué.
• Formule de De Moivre. [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ)).
• Racines n-ièmes. Rechercher les racines n-ièmes et les représenter dans le plan de Gauss.

Exercices types

• Passer de a + bi à la forme trigonométrique
• Résoudre z² + z + 1 = 0 dans ℂ
• Racines n-ièmes et plan de Gauss

Autres chapitres de 6e

• Probabilité
• Lois de probabilités
• Géométrie
• Intégrale
• Fonctions exponentielles et logarithmes
• Géométrie analytique de l'espace
• Fonctions réciproques et cyclométriques
• Lieux géométriques