Intégrale : maths 6e secondaire

Une primitive de f est une fonction F telle que F' = f. On ajoute une constante.

Au jury de la Fédération Wallonie-Bruxelles, ce chapitre est la 6G UAA3 de l'examen de mathématiques du CESS.

Compétences visées

• Concevoir l’intégrale comme somme infinie
• Résoudre des problèmes au calcul intégral

Le volume d'un solide de révolution est dans cette UAA en 4 h (axe des abscisses) comme en 6 h.

Primitives usuelles

Une primitive de f est une fonction F telle que F' = f. On ajoute une constante.

À connaître

• $F' = f$
• primitive de $x^n$ ($n \neq -1$) : $\frac{x^{n+1}}{n + 1} + C$
• primitive de $\frac{1}{x}$ : $\ln|x| + C$
• primitive de $e^x$ : $e^x + C$
• primitive de $\cos x$ : $\sin x + C$
• primitive de $\sin x$ : $-\cos x + C$

Méthodes

• Tableau des primitives usuelles. Puissance, inverse, exp, sin, cos. La constante est obligatoire.
• Linéarité. Primitive d'une somme, et facteur constant qui sort.

Exercices types

• Primitive de 3x² − 4x + 1
• Primitive de 1/(2x + 1)

Intégrale définie

L'intégrale de a à b est le bilan des aires algébriques. On la calcule par une primitive.

À connaître

• $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
• linéarité, relation de Chasles, positivité si $f \ge 0$

Méthodes

• Calcul par une primitive. Théorème fondamental : lien intégrale définie ↔ primitive.
• Substitution et parties. Cas simples. En scientifiques, le changement de variable et l'intégration par parties sont au programme.
• Sommes de Darboux et de Riemann. FESeC : Darboux pour aires/volumes ; Riemann pour longueur d’arc.
• Théorème de la moyenne. Propriétés de linéarité, croissance, additivité ; théorème de la moyenne.

Exercices types

• Calculer ∫_0^1 (2x + 1) dx
• Justifier le lien primitive / intégrale sur un schéma

Aires

L'aire entre la courbe et l'axe est l'intégrale de |f|. Entre deux courbes, on intègre la différence, du bon côté.

À connaître

• aire entre $f$ et l'axe, $f \ge 0$ : $\int_a^b f(x)\,dx$
• aire entre $f$ et $g$ : $\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$
• $L = \int_a^b \sqrt{1 + \big(f'(x)\big)^2}\,dx$

Méthodes

• Aire entre deux courbes. On cherche les intersections, puis on intègre la fonction du dessus moins celle du dessous.
• Aire entre plusieurs courbes. FESeC : surfaces comprises entre plusieurs courbes ; découper aux intersections.
• Longueur d’un arc. FESeC scientifiques : approximation par ligne polygonale / sommes de Riemann pour une longueur d’arc.

Exercices types

• Aire entre y = x² et y = x de 0 à 1
• Aire algébrique et aire géométrique d'une fonction qui change de signe
• Aire entre y = x² et y = x sur [0, 1]
• Longueur d’arc d’une parabole simple

Volumes

Volume d'un solide de révolution, dans l'UAA Intégrale. En 4 h, l'axe est l'axe des abscisses. En 6 h, et donc en 8 h, l'axe est parallèle à un axe du repère.

À connaître

• autour de l'axe des abscisses : $V = \pi \int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx$
• unité : le volume du cylindre de rayon $1$ et de hauteur $1$
• $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$ (axe $Ox$)

Méthodes

• Solide de révolution. On élève l'ordonnée au carré, on multiplie par π, on intègre.
• Encadrement Darboux. Sommes de Darboux pour approcher aires et volumes par défaut / par excès.

Exercices types

• Volume engendré par y = √x de 0 à 4, autour de l'axe des x
• Justifier la formule à partir d'une pile de cylindres
• Volume engendré par y = √x autour de Ox

Autres chapitres de 6e

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